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<title>Arccosine Function Reverse Mode Theory</title>
<meta name="description" id="description" content="Arccosine Function Reverse Mode Theory"/>
<meta name="keywords" id="keywords" content=" acos reverse theory "/>
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body { background-color : white }
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A:visited { color : purple }
A:active { color : purple }
</style>
<script type='text/javascript' language='JavaScript' src='_acosreverse_xml.js'>
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</head>
<body>
<table><tr>
<td>
<a href="http://www.coin-or.org/CppAD/" target="_top"><img border="0" src="_image.gif"/></a>
</td>
<td><a href="asinreverse.xml" target="_top">Prev</a>
</td><td><a href="reverse_identity.xml" target="_top">Next</a>
</td><td>
<select onchange='choose_across0(this)'>
<option>Index-></option>
<option>contents</option>
<option>reference</option>
<option>index</option>
<option>search</option>
<option>external</option>
</select>
</td>
<td>
<select onchange='choose_up0(this)'>
<option>Up-></option>
<option>CppAD</option>
<option>Appendix</option>
<option>Theory</option>
<option>ReverseTheory</option>
<option>AcosReverse</option>
</select>
</td>
<td>
<select onchange='choose_down3(this)'>
<option>Appendix-></option>
<option>Faq</option>
<option>speed</option>
<option>Theory</option>
<option>glossary</option>
<option>Bib</option>
<option>Bugs</option>
<option>WishList</option>
<option>whats_new</option>
<option>include_deprecated</option>
<option>License</option>
</select>
</td>
<td>
<select onchange='choose_down2(this)'>
<option>Theory-></option>
<option>ForwardTheory</option>
<option>ReverseTheory</option>
<option>reverse_identity</option>
</select>
</td>
<td>
<select onchange='choose_down1(this)'>
<option>ReverseTheory-></option>
<option>ExpReverse</option>
<option>LogReverse</option>
<option>SqrtReverse</option>
<option>SinCosReverse</option>
<option>AtanReverse</option>
<option>AsinReverse</option>
<option>AcosReverse</option>
</select>
</td>
<td>AcosReverse</td>
<td>Headings</td>
</tr></table><br/>
<center><b><big><big>Arccosine Function Reverse Mode Theory</big></big></b></center>
We use the reverse theory
<a href="reversetheory.xml#Standard Math Functions" target="_top"><span style='white-space: nowrap'>standard math function</span></a>
definition for the functions
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>H</mi>
</mrow></math>
and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>G</mi>
</mrow></math>
.
In addition,
we use
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>q</mi>
</mrow></math>
and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>b</mi>
</mrow></math>
for the <i>p</i>-th order Taylor coefficient
row vectors corresponding to functions
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow>
<mtable rowalign="center" ><mtr><mtd columnalign="right" >
<mi mathvariant='italic'>Q</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd><mtd columnalign="center" >
<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
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<mo stretchy="false">-</mo>
<mi mathvariant='italic'>X</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">*</mo>
<mi mathvariant='italic'>X</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd></mtr><mtr><mtd columnalign="right" >
<mi mathvariant='italic'>B</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd><mtd columnalign="center" >
<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
<msqrt><mrow><mi mathvariant='italic'>Q</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msqrt>
</mtd></mtr></mtable>
</mrow></math>
and replace
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<msup><mi mathvariant='italic'>z</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow></math>
by
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msup><mi mathvariant='italic'>z</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">,</mo>
<msup><mi mathvariant='italic'>b</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow></math>
in the definition for
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>G</mi>
</mrow></math>
and
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>H</mi>
</mrow></math>
.
The forward mode formulas for the
<a href="acosforward.xml" target="_top"><span style='white-space: nowrap'>acos</span></a>
function are
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow>
<mtable rowalign="center" ><mtr><mtd columnalign="right" >
<msup><mi mathvariant='italic'>q</mi>
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<mn>0</mn>
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</mrow>
</msup>
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<mo stretchy="false">=</mo>
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<mo stretchy="false">-</mo>
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<mn>0</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<msup><mi mathvariant='italic'>x</mi>
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<mn>0</mn>
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</msup>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
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</mrow>
</msup>
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<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
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<mn>0</mn>
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</mrow>
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</mrow>
</msqrt>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
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</mrow>
</msup>
</mtd><mtd columnalign="center" >
<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
<mi>arccos</mi>
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<mn>0</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd></mtr></mtable>
</mrow></math>
for the case
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow></math>
, and for
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mrow>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">></mo>
<mn>0</mn>
</mrow></math>
,
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow>
<mtable rowalign="center" ><mtr><mtd columnalign="right" >
<msup><mi mathvariant='italic'>q</mi>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mtd><mtd columnalign="center" >
<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
<mo stretchy="false">-</mo>
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<mo stretchy="false">=</mo>
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</mrow>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
</munderover>
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<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<msup><mi mathvariant='italic'>x</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">-</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mtd></mtr><mtr><mtd columnalign="right" >
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<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mtd><mtd columnalign="center" >
<mo stretchy="false">=</mo>
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</mrow>
<mrow><mi mathvariant='italic'>j</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mfrac><mrow><mn>1</mn>
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<mn>0</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mrow><mo stretchy="true">(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant='italic'>j</mi>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn>
</mrow>
</mfrac>
<msup><mi mathvariant='italic'>q</mi>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">-</mo>
<munderover><mo displaystyle='true' largeop='true'>∑</mo>
<mrow><mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow><mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mn>-1</mn>
</mrow>
</munderover>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<msup><mi mathvariant='italic'>b</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<msup><mi mathvariant='italic'>b</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">-</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow><mo stretchy="true">)</mo></mrow>
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<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
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<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
<mo stretchy="false">-</mo>
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</mrow>
<mrow><mi mathvariant='italic'>j</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mfrac><mrow><mn>1</mn>
</mrow>
<mrow><msup><mi mathvariant='italic'>b</mi>
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<mn>0</mn>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
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<msup><mi mathvariant='italic'>x</mi>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
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</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false">+</mo>
<munderover><mo displaystyle='true' largeop='true'>∑</mo>
<mrow><mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow><mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mn>-1</mn>
</mrow>
</munderover>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<msup><mi mathvariant='italic'>z</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<msup><mi mathvariant='italic'>b</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">-</mo>
<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow><mo stretchy="true">)</mo></mrow>
</mtd></mtr></mtable>
</mrow></math>
If
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow></math>
, we have the relation
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow>
<mtable rowalign="center" ><mtr><mtd columnalign="right" >
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<mi mathvariant='italic'>H</mi>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
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<mo stretchy="false">=</mo>
</mtd><mtd columnalign="left" >
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<mi mathvariant='italic'>G</mi>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
<msup><mi mathvariant='italic'>x</mi>
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<mn>0</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo stretchy="false">+</mo>
<mfrac><mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
<mi mathvariant='italic'>G</mi>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mfrac><mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
<msup><mi mathvariant='italic'>z</mi>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
<msup><mi mathvariant='italic'>x</mi>
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<mn>0</mn>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo stretchy="false">+</mo>
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<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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</msup>
</mrow>
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<msup><mi mathvariant='italic'>q</mi>
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<mn>0</mn>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
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<msup><mi mathvariant='italic'>q</mi>
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<mn>0</mn>
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</msup>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
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<mi mathvariant='italic'>G</mi>
</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo stretchy="false">-</mo>
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<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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</mrow>
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</mrow>
<mrow><mo stretchy="false">∂</mo>
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
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</msup>
</mrow>
</mfrac>
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</mrow>
</msup>
</mrow>
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</mfrac>
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If
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<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mo stretchy="false">></mo>
<mn>0</mn>
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, then for
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<mi mathvariant='italic'>k</mi>
<mo stretchy="false">=</mo>
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<mo stretchy="false">…</mo>
<mo stretchy="false">,</mo>
<mi mathvariant='italic'>j</mi>
<mn>-1</mn>
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</mrow>
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</mrow>
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</msup>
</mrow>
</mfrac>
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</mrow>
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