<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>Базовая алгебра и вычисления — Sage Tutorial in Russian v5.9</title>
<link rel="stylesheet" href="_static/sage.css" type="text/css" />
<link rel="stylesheet" href="_static/pygments.css" type="text/css" />
<script type="text/javascript">
var DOCUMENTATION_OPTIONS = {
URL_ROOT: '',
VERSION: '5.9',
COLLAPSE_INDEX: false,
FILE_SUFFIX: '.html',
HAS_SOURCE: true
};
</script>
<script type="text/javascript" src="_static/jquery.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/underscore.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/doctools.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/translations.js"></script>
<link rel="shortcut icon" href="_static/favicon.ico"/>
<link rel="top" title="Sage Tutorial in Russian v5.9" href="index.html" />
<link rel="up" title="Тур по Sage" href="tour.html" />
<link rel="next" title="Построение графиков" href="tour_plotting.html" />
<link rel="prev" title="Получение помощи" href="tour_help.html" />
<link rel="icon" href="_static/sageicon.png" type="image/x-icon" />
</head>
<body>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
accesskey="I">словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_plotting.html" title="Построение графиков"
accesskey="N">следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_help.html" title="Получение помощи"
accesskey="P">предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" accesskey="U">Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="document">
<div class="documentwrapper">
<div class="bodywrapper">
<div class="body">
<div class="section" id="id1">
<h1>Базовая алгебра и вычисления<a class="headerlink" href="#id1" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h1>
<p>Sage может осуществлять вычисления такие, как поиск решений уравнений,
дифференцирование, интегрирование и преобразования Лапласа. См.
<a class="reference external" href="http://www.sagemath.org/doc/constructions/">Sage Constructions</a> ,
где содержатся примеры.</p>
<div class="section" id="id2">
<h2>Решение уравнений<a class="headerlink" href="#id2" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<div class="section" id="id3">
<h3>Точное решение уравнений<a class="headerlink" href="#id3" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h3>
<p>Функция <tt class="docutils literal"><span class="pre">solve</span></tt> решает уравнения. Для ее использования сначала нужно
определить некоторые переменные; аргументами для <tt class="docutils literal"><span class="pre">solve</span></tt> будут уравнение
(или система уравнений) и переменные, для которых нужно найти решение:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x = var('x')</span>
<span class="go">sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)</span>
<span class="go">[x == -2, x == -1]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Можно решать уравнения для одной переменной через другие:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x, b, c = var('x b c')</span>
<span class="go">sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)</span>
<span class="go">[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Также можно решать уравнения с несколькими переменными:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x, y = var('x, y')</span>
<span class="go">sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)</span>
<span class="go">[[x == 5, y == 1]]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Следующий пример показывает, как Sage решает систему нелинейных уравнений.
Для начала система решается символьно:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: var('x y p q')</span>
<span class="go">(x, y, p, q)</span>
<span class="go">sage: eq1 = p+q==9</span>
<span class="go">sage: eq2 = q*y+p*x==-6</span>
<span class="go">sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24</span>
<span class="go">sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)</span>
<span class="go">[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(2)*sqrt(5) - 2/3],</span>
<span class="go"> [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(2)*sqrt(5) - 2/3]]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для приближенных значений решения можно использовать:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)</span>
<span class="go">sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]</span>
<span class="go">[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],</span>
<span class="go"> [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]</span>
</pre></div>
</div>
<p>(Функция <tt class="docutils literal"><span class="pre">n</span></tt> выведет приближенное значение. Аргументом для данной функции
является количество битов точности)</p>
</div>
<div class="section" id="id4">
<h3>Численное решение уравнений<a class="headerlink" href="#id4" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h3>
<p>Во многих случаях функция <tt class="docutils literal"><span class="pre">solve</span></tt> не способна найти точное решение уравнения.
Вместо нее можно использовать функцию <tt class="docutils literal"><span class="pre">find_root</span></tt> для нахождения численного
решения. Например, <tt class="docutils literal"><span class="pre">solve</span></tt> не возвращает ничего существенного для следующего
уравнения:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: theta = var('theta')</span>
<span class="go">sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)</span>
<span class="go">[sin(theta) == cos(theta)]</span>
</pre></div>
</div>
<p>С другой стороны функция <tt class="docutils literal"><span class="pre">find_root</span></tt> может использоваться для решения
вышеуказанного примера в интервале <img class="math" src="_images/math/c6a79b9e29dbafe74b9185ab6203d101153ab1fe.png" alt="0 < \phi < \pi/2"/>:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: phi = var('phi')</span>
<span class="go">sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)</span>
<span class="go">0.785398163397448...</span>
</pre></div>
</div>
</div>
</div>
<div class="section" id="id5">
<h2>Дифференцирование, интегрирование и т.д.<a class="headerlink" href="#id5" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>Sage умеет дифференцировать и интегрировать многие функции. Например,
для того, чтобы продифференцировать <img class="math" src="_images/math/b9befd46b73779dd8ebb80bf8d360e00f5ccbfd6.png" alt="\sin(u)"/> по переменной <img class="math" src="_images/math/9ad99798ec4c38e165cf517cb9e02b1c9e824103.png" alt="u"/>,
требуется:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: u = var('u')</span>
<span class="go">sage: diff(sin(u), u)</span>
<span class="go">cos(u)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для подсчета четвертой производной функции <img class="math" src="_images/math/45eadd178b6696f856141fb38c83b93e70a3a3b4.png" alt="\sin(x^2)"/> надо:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: diff(sin(x^2), x, 4)</span>
<span class="go">16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для нахождения частных производных, как, например, для функции <img class="math" src="_images/math/7dcbab386eed7d02e3f8779fb7bc88bb19cc8739.png" alt="x^2+17y^2"/>
по <img class="math" src="_images/math/26eeb5258ca5099acf8fe96b2a1049c48c89a5e6.png" alt="x"/> и <img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/> соответственно:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x, y = var('x,y')</span>
<span class="go">sage: f = x^2 + 17*y^2</span>
<span class="go">sage: f.diff(x)</span>
<span class="go">2*x</span>
<span class="go">sage: f.diff(y)</span>
<span class="go">34*y</span>
</pre></div>
</div>
<p>Теперь найдём интегралы: и определенные, и неопределенные. Например,
<img class="math" src="_images/math/167bc571a78c52e72d0f8fa2f128efe7e04e6b5a.png" alt="\int x\sin(x^2)\, dx"/> и
<img class="math" src="_images/math/dcf271a49679b2b55c035244cdcb042918344792.png" alt="\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx"/></p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: integral(x*sin(x^2), x)</span>
<span class="go">-1/2*cos(x^2)</span>
<span class="go">sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)</span>
<span class="go">1/2*log(2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для нахождения разложения на простые дроби для <img class="math" src="_images/math/56db0b6dcbaab5dd5efbb21eb5e3af85a983a4ed.png" alt="\frac{1}{x^2-1}"/>
нужно сделать следующее:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = 1/((1+x)*(x-1))</span>
<span class="go">sage: f.partial_fraction(x)</span>
<span class="go">1/2/(x - 1) - 1/2/(x + 1)</span>
</pre></div>
</div>
</div>
<div class="section" id="section-systems">
<span id="id6"></span><h2>Решение дифференциальных уравнений<a class="headerlink" href="#section-systems" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>Sage может использоваться для решения дифференциальных уравнений. Для
решения уравнения <img class="math" src="_images/math/25be7e36adf734bb6842439a5b939d200a28f607.png" alt="x'+x-1=0"/> сделаем следующее:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: t = var('t') # определение переменной t для символьных вычислений</span>
<span class="go">sage: x = function('x',t) # определение функции x зависящей от t</span>
<span class="go">sage: DE = diff(x, t) + x - 1</span>
<span class="go">sage: desolve(DE, [x,t])</span>
<span class="go">(c + e^t)*e^(-t)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для этого используется интерфейс Maxima <a class="reference internal" href="bibliography.html#max">[Max]</a>, поэтому результат может
быть выведен в виде, отличном от обычного вывода Sage. В данном случае
общее решение для данного дифференциального уравнения -
<img class="math" src="_images/math/a3cfc012fc4d265a88ea6eea3f5ebf099111f1df.png" alt="x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)"/>.</p>
<p>Преобразования Лапласа также могут быть вычислены. Преобразование Лапласа для
<img class="math" src="_images/math/51eb1988c74a1b0c1917c35f601e712727c3193a.png" alt="t^2e^t -\sin(t)"/> вычисляется следующим образом:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: s = var("s")</span>
<span class="go">sage: t = var("t")</span>
<span class="go">sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)</span>
<span class="go">sage: f.laplace(t,s)</span>
<span class="go">2/(s - 1)^3 - 1/(s^2 + 1)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Приведем более сложный пример. Отклонение от положения равновесия для пары
пружин, прикрепленных к стене слева,</p>
<div class="highlight-python"><pre>|------\/\/\/\/\---|масса1|----\/\/\/\/\/----|масса2|
пружина1 пружина2</pre>
</div>
<p>может быть представлено в виде дифференциальных уравнений второго порядка</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/83481dc9a71b68e50d978a09314a1b28b52c552a.png" alt="m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0
m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,"/></p>
</div><p>где <img class="math" src="_images/math/208adf4a30ab30124fdb3c5c977d70ff04b678bd.png" alt="m_{i}"/> - это масса объекта <em>i</em>, <img class="math" src="_images/math/837682bc6103a4c6740c8273434e1a2c771a2514.png" alt="x_{i}"/> - это
отклонение от положения равновесия массы <em>i</em>, а <img class="math" src="_images/math/1454aaa4a0c2598b6347e956e2602b4a48008a81.png" alt="k_{i}"/> - это
константа для пружины <em>i</em>.</p>
<p><strong>Пример:</strong> Используйте Sage для вышеуказанного примера с
<img class="math" src="_images/math/6e33cbc60799b3924847aed6813ebf63ed6adf6e.png" alt="m_{1}=2"/>, <img class="math" src="_images/math/795c0c7a82fd1e7a0a34fad0c965a5b5b2483e37.png" alt="m_{2}=1"/>, <img class="math" src="_images/math/4fdc136a037108ed49345169a235e202aad0a4f2.png" alt="k_{1}=4"/>,
<img class="math" src="_images/math/379e5c95f28ac19da7594e56f7f0ba8d05be95a4.png" alt="k_{2}=2"/>, <img class="math" src="_images/math/e583803c6a2c6dfe4859706ad060cd98bc58cf7d.png" alt="x_{1}(0)=3"/>, <img class="math" src="_images/math/9fffeda9e9cda03380817557b51be465acc9a03b.png" alt="x_{1}'(0)=0"/>,
<img class="math" src="_images/math/3b4bec76652ba4369cb2611fa0aef672e0ebf90d.png" alt="x_{2}(0)=3"/>, <img class="math" src="_images/math/b7e37403a952c780ffdd4989842980057a2121be.png" alt="x_{2}'(0)=0"/>.</p>
<p>Решение: Надо найти преобразование Лапласа первого уравнения (с условием
<img class="math" src="_images/math/bc4d7ddcc2a46e46eb1b3dd8b40f0d9c3a53904b.png" alt="x=x_{1}"/>, <img class="math" src="_images/math/89aecf2d7ae0b86f37cc1dc28f462ed2307ffb35.png" alt="y=x_{2}"/>):</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")</span>
<span class="go">sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1</span>
<span class="go">2*(-?%at('diff(x(t),t,1),t=0)+s^2*'laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*'laplace(y(t),t,s)+6*'laplace(x(t),t,s)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Данный результат тяжело читаем, однако должен быть понят как</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/247561037c2efce74eca1aca422bcb20daa6953c.png" alt="-2x'(0) + 2s^2\cdot X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0"/></p>
</div><p>Найдем преобразование Лапласа для второго уравнения:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")</span>
<span class="go">sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2</span>
<span class="go">-?%at('diff(y(t),t,1),t=0)+s^2*'laplace(y(t),t,s)+2*'laplace(y(t),t,s)-2*'laplace(x(t),t,s)-y(0)*s</span>
</pre></div>
</div>
<p>Результат:</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/d9621a176c46070718bf343f878e83b426683700.png" alt="-Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0."/></p>
</div><p>Вставим начальные условия для <img class="math" src="_images/math/e5bb6706b88cfc6fb16bba567a9035819f352aea.png" alt="x(0)"/>, <img class="math" src="_images/math/f7a991e4e6106d20735af868206d81b3178cc8e4.png" alt="x'(0)"/>,
<img class="math" src="_images/math/01ac2939f4cad9f93f55399e9160349590b8c63d.png" alt="y(0)"/> и <img class="math" src="_images/math/d7daab106da948dd26582276e407065c7e8a727b.png" alt="y'(0)"/>, и решим уравения:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: var('s X Y')</span>
<span class="go">(s, X, Y)</span>
<span class="go">sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]</span>
<span class="go">sage: solve(eqns, X,Y)</span>
<span class="go">[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),</span>
<span class="go"> Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Теперь произведём обратное преобразование Лапласа для нахождения ответа:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: var('s t')</span>
<span class="go">(s, t)</span>
<span class="go">sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)</span>
<span class="go">cos(2*t) + 2*cos(t)</span>
<span class="go">sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)</span>
<span class="go">-cos(2*t) + 4*cos(t)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Итак, ответ:</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/1bb3918ba2337596d436bb1b05a48b8cbc676699.png" alt="x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t)."/></p>
</div><p>График для ответа может быть построен параметрически, используя</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: t = var('t')</span>
<span class="go">sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\</span>
<span class="gp">... </span> <span class="p">(</span><span class="n">t</span><span class="p">,</span> <span class="mi">0</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="o">*</span><span class="n">pi</span><span class="p">),</span> <span class="n">rgbcolor</span><span class="o">=</span><span class="n">hue</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.9</span><span class="p">))</span>
<span class="go">sage: show(P)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Графики могут быть построены и для отдельных компонентов:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: t = var('t')</span>
<span class="go">sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))</span>
<span class="go">sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))</span>
<span class="go">sage: show(p1 + p2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для более исчерпывающей информации по графикам см. <a class="reference internal" href="tour_plotting.html#section-plot"><em>Построение графиков</em></a>.
Также см. секцию 5.5 из <a class="reference internal" href="bibliography.html#nagleetal2004">[NagleEtAl2004]</a> для углубленной информации по
дифференциальным уравнениям.</p>
</div>
<div class="section" id="id9">
<h2>Метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений<a class="headerlink" href="#id9" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>В следующем примере показан метод Эйлера для дифференциальных уравнений
первого и второго порядков. Сначала вспомним, что делается для уравнений
первого порядка. Дана задача с начальными условиями в виде</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/d99065f5b24c0bca0769755e545be7d0c0342807.png" alt="y'=f(x,y), \quad y(a)=c,"/></p>
</div><p>требуется найти приблизительное значение решения при <img class="math" src="_images/math/741720281e465fc7461c32d504f6d54c5bcaff7c.png" alt="x=b"/> и <img class="math" src="_images/math/9dfc685c058a3923bc44dc7a591ea65066c69dea.png" alt="b>a"/>.</p>
<p>Из определения производной следует, что</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/4c3d51f862c5b4722b3f56f781d580fceca34962.png" alt="y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},"/></p>
</div><p>где <img class="math" src="_images/math/cf642186044923923da160295ed941ca3913bdc9.png" alt="h>0"/> дано и является небольшим. Это и дифференциальное уравнение дают
<img class="math" src="_images/math/6dd98b7239807db419e17297e3d7343af3ca49bc.png" alt="f(x,y(x))\approx
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}"/>. Теперь надо решить для <img class="math" src="_images/math/a7abfafe6fcb64a1ca71e13588686138a5c2063c.png" alt="y(x+h)"/>:</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/359ddea83130c66a7b92dc6501da60620bab7cb3.png" alt="y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x))."/></p>
</div><p>Если назвать <img class="math" src="_images/math/bed0fa92360f1c113b0099cbf7661d9de9a9addf.png" alt="h\cdot f(x,y(x))"/> “поправочным элементом”, <img class="math" src="_images/math/cb3e3aafaf565634f3a17951361f66b1ca3609f8.png" alt="y(x)"/>
“прежним значением <img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/>” а <img class="math" src="_images/math/a7abfafe6fcb64a1ca71e13588686138a5c2063c.png" alt="y(x+h)"/> “новым значением <img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/>”, тогда
данное приближение может быть выражено в виде</p>
<div class="math">
<p><img src="_images/math/d77e32e8ae90469aa74f0c96792e793ad324cb03.png" alt="y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old})."/></p>
</div><p>Если разбить интервал между <img class="math" src="_images/math/c7d457e388298246adb06c587bccd419ea67f7e8.png" alt="a"/> и <img class="math" src="_images/math/8136a7ef6a03334a7246df9097e5bcc31ba33fd2.png" alt="b"/> на <img class="math" src="_images/math/174fadd07fd54c9afe288e96558c92e0c1da733a.png" alt="n"/> частей, чтобы
<img class="math" src="_images/math/9273301200c5d1726d7e93cbe54466f97da41c23.png" alt="h=\frac{b-a}{n}"/>, тогда можно записать информацию для данного
метода в таблицу.</p>
<table border="1" class="docutils">
<colgroup>
<col width="24%" />
<col width="40%" />
<col width="36%" />
</colgroup>
<thead valign="bottom">
<tr class="row-odd"><th class="head"><img class="math" src="_images/math/26eeb5258ca5099acf8fe96b2a1049c48c89a5e6.png" alt="x"/></th>
<th class="head"><img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/></th>
<th class="head"><img class="math" src="_images/math/7edb11b74adff766fe4d0ef2ddc60dfe721ad2b1.png" alt="h\cdot f(x,y)"/></th>
</tr>
</thead>
<tbody valign="top">
<tr class="row-even"><td><img class="math" src="_images/math/c7d457e388298246adb06c587bccd419ea67f7e8.png" alt="a"/></td>
<td><img class="math" src="_images/math/3372c1cb6d68cf97c2d231acc0b47b95a9ed04cc.png" alt="c"/></td>
<td><img class="math" src="_images/math/c30b5f94a2b0b2e86e09c3564b3baf73002e070c.png" alt="h\cdot f(a,c)"/></td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td><img class="math" src="_images/math/ec2ac3b93c1551b226a92d7446fd4316867f921b.png" alt="a+h"/></td>
<td><img class="math" src="_images/math/7e38780b98479dbd372b172422ac8683a6b0e90e.png" alt="c+h\cdot f(a,c)"/></td>
<td>...</td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><img class="math" src="_images/math/f05dfd98d9b87e69664af5163b3db84a74f0ebe0.png" alt="a+2h"/></td>
<td>...</td>
<td> </td>
</tr>
<tr class="row-odd"><td>...</td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
<tr class="row-even"><td><img class="math" src="_images/math/6388cfe10e40da59c162bb8e8b2d0ef8fc0aa0eb.png" alt="b=a+nh"/></td>
<td>???</td>
<td>...</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Целью является заполнить все пустоты в таблице по одному ряду за раз
до момента достижения записи ???, которая и является приближенным
значением метода Эйлера для <img class="math" src="_images/math/a24c1e0e6ecb689cd88190f1d105ab152a8f9678.png" alt="y(b)"/>.</p>
<p>Решение систем дифференциальных уравнений похоже на решение обычных
дифференциальных уравнений.</p>
<p><strong>Пример:</strong> Найдите численное приблизительное значение для <img class="math" src="_images/math/b00fc10753d7366a6919ed110df236f9a0b54f64.png" alt="z(t)"/>
при <img class="math" src="_images/math/cd2a4ec9cf64d68580d5ef68252432965551b464.png" alt="t=1"/>, используя 4 шага метода Эйлера, где <img class="math" src="_images/math/ce8e38a626c6dcf91f26042fb890f0fca3b279e3.png" alt="z''+tz'+z=0"/>,
<img class="math" src="_images/math/2773e8273fd0f24fe85b50582d29ac82a2083c53.png" alt="z(0)=1"/>, <img class="math" src="_images/math/85c06cfe017de6c6e833a815d1bb25564b23fe72.png" alt="z'(0)=0"/>.</p>
<p>Требуется привести дифференциальное уравнение 2го порядка к системе
двух дифференцальных уравнений первого порядка (используя <img class="math" src="_images/math/b0b4a78db8f086f7169b9a0cc443e0b9ee0224ab.png" alt="x=z"/>,
<img class="math" src="_images/math/a17d87db8b70fbd108e8f8875c107803be2e0620.png" alt="y=z'"/>) и применить метод Эйлера:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()</span>
<span class="go">sage: f = y; g = -x - y * t</span>
<span class="go">sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)</span>
<span class="go"> t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y)</span>
<span class="go"> 0 1 0.00 0 -0.25</span>
<span class="go"> 1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23</span>
<span class="go"> 1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17</span>
<span class="go"> 3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081</span>
<span class="go"> 1 0.65 -0.18 -0.74 0.022</span>
</pre></div>
</div>
<p>Итак, <img class="math" src="_images/math/eebe1416bf2c3ef4d68372964c71489b9b80d22a.png" alt="z(1)\approx 0.75"/>.</p>
<p>Можно построить график для точек <img class="math" src="_images/math/e53b1fe25be1c679117fb44a6a886fe1247d189a.png" alt="(x,y)"/>, чтобы получить приблизительный
вид кривой. Функция <tt class="docutils literal"><span class="pre">eulers_method_2x2_plot</span></tt> выполнит данную задачу;
для этого надо определить функции <em>f</em> и <em>g</em>, аргумент которых имеет три
координаты: (<img class="math" src="_images/math/e0d2bf360290fd61d1c1557e763f2622363b3d35.png" alt="t"/>, <img class="math" src="_images/math/26eeb5258ca5099acf8fe96b2a1049c48c89a5e6.png" alt="x"/>, <img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/>).</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y</span>
<span class="go">sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x)</span>
<span class="go">sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)</span>
</pre></div>
</div>
<p>В этот момент <tt class="docutils literal"><span class="pre">P</span></tt> содержит в себе два графика: <tt class="docutils literal"><span class="pre">P[0]</span></tt> - график <img class="math" src="_images/math/26eeb5258ca5099acf8fe96b2a1049c48c89a5e6.png" alt="x"/>
по <img class="math" src="_images/math/e0d2bf360290fd61d1c1557e763f2622363b3d35.png" alt="t"/> и <tt class="docutils literal"><span class="pre">P[1]</span></tt> - график <img class="math" src="_images/math/092e364e1d9d19ad5fffb0b46ef4cc7f2da02c1c.png" alt="y"/> по <img class="math" src="_images/math/e0d2bf360290fd61d1c1557e763f2622363b3d35.png" alt="t"/>. Оба эти графика могут быть выведены
следующим образом:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: show(P[0] + P[1])</span>
</pre></div>
</div>
</div>
<div class="section" id="id10">
<h2>Специальные функции<a class="headerlink" href="#id10" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>Несколько ортогональных полиномов и специальных функций осуществлены
с помощью PARI <a class="reference internal" href="bibliography.html#gap">[GAP]</a> и Maxima <a class="reference internal" href="bibliography.html#max">[Max]</a>.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x = polygen(QQ, 'x')</span>
<span class="go">sage: chebyshev_U(2,x)</span>
<span class="go">4*x^2 - 1</span>
<span class="go">sage: bessel_I(1,1,"pari",250)</span>
<span class="go">0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096</span>
<span class="go">sage: bessel_I(1,1)</span>
<span class="go">0.565159103992485</span>
<span class="go">sage: bessel_I(2,1.1,"maxima") # последние несколько цифр могут быть неточными</span>
<span class="go">0.167089499251049</span>
</pre></div>
</div>
<p>На данный момент Sage рассматривает данные функции только для численного
применения. Для символьного использования нужно напрямую использовать
интерфейс Maxima, как описано ниже:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")</span>
<span class="go">'bessel_y(v,w)'</span>
<span class="go">sage: maxima.eval("diff(f,w)")</span>
<span class="go">'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'</span>
</pre></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar">
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<h3><a href="index.html">Содержание</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">Базовая алгебра и вычисления</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#id2">Решение уравнений</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#id3">Точное решение уравнений</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#id4">Численное решение уравнений</a></li>
</ul>
</li>
<li><a class="reference internal" href="#id5">Дифференцирование, интегрирование и т.д.</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#section-systems">Решение дифференциальных уравнений</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#id9">Метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#id10">Специальные функции</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
<h4>Предыдущий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_help.html"
title="предыдущая глава">Получение помощи</a></p>
<h4>Следующий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_plotting.html"
title="следующая глава">Построение графиков</a></p>
<h3>На этой странице</h3>
<ul class="this-page-menu">
<li><a href="_sources/tour_algebra.txt"
rel="nofollow">Показать исходный текст</a></li>
</ul>
<div id="searchbox" style="display: none">
<h3>Быстрый поиск</h3>
<form class="search" action="search.html" method="get">
<input type="text" name="q" size="18" />
<!-- The shading of the "Go" button should be consistent -->
<!-- with the colour of the header and footer. See the file -->
<!-- doc/common/themes/sage/theme.conf for colours used by -->
<!-- the Sage theme. -->
<input type="submit" style="background-color: #B8B9F6" value="Искать" />
<input type="hidden" name="check_keywords" value="yes" />
<input type="hidden" name="area" value="default" />
</form>
<p class="searchtip" style="font-size: 90%">
Введите слова для поиска или имя модуля, класса или функции.
</p>
</div>
<script type="text/javascript">$('#searchbox').show(0);</script>
</div>
</div>
<div class="clearer"></div>
</div>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
>словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_plotting.html" title="Построение графиков"
>следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_help.html" title="Получение помощи"
>предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" >Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="footer">
© Copyright 2005--2011, The Sage Development Team.
При создании использован <a href="http://sphinx.pocoo.org/">Sphinx</a> 1.1.3.
</div>
<script type="text/javascript">
/*global jQuery, window */
/* Sphinx sidebar toggle. Putting this code at the end of the body
* enables the toggle for the live, static, and offline docs. Note:
* sage.misc.html.math_parse() eats jQuery's dollar-sign shortcut. */
var jq = jQuery;
jq(document).ready(function () {
var bar, bod, bg, fg, key, tog, wid_old, wid_new, resize, get_state, set_state;
bod = jq('div.bodywrapper');
bar = jq('div.sphinxsidebar');
tog = jq('<div class="sphinxsidebartoggle"></div>');
/* Delayed resize helper. Not perfect but good enough. */
resize = function () {
setTimeout(function () {
tog.height(bod.height());
}, 100);
};
jq(window).resize(function () {
resize();
});
/* Setup and add the toggle. See Sphinx v0.5.1 default.css. */
fg = jq('div.sphinxsidebar p a').css('color') || 'rgb(152, 219, 204)';
bg = jq('div.document').css('background-color') || 'rgb(28, 78, 99)';
wid_old = '230px';
wid_new = '5px';
tog.css('background-color', bg)
.css('border-width', '0px')
.css('border-right', wid_new + ' ridge ' + bg)
.css('cursor', 'pointer')
.css('position', 'absolute')
.css('left', '-' + wid_new)
.css('top', '0px')
.css('width', wid_new);
bod.css('position', 'relative');
bod.prepend(tog);
resize();
/* Cookie helpers. */
key = 'sphinxsidebar=';
set_state = function (s) {
var date = new Date();
/* Expiry in 7 days. */
date.setTime(date.getTime() + (7 * 24 * 3600 * 1000));
document.cookie = key + encodeURIComponent(s) + '; expires=' +
date.toUTCString() + '; path=/';
};
get_state = function () {
var i, c, crumbs = document.cookie.split(';');
for (i = 0; i < crumbs.length; i += 1) {
c = crumbs[i].replace(/^\s+/, '');
if (c.indexOf(key) === 0) {
return decodeURIComponent(c.substring(key.length, c.length));
}
}
return null;
};
/* Event handlers. */
tog.mouseover(function (ev) {
tog.css('border-right-color', fg);
}).mouseout(function (ev) {
tog.css('border-right-color', bg);
}).click(function (ev) {
if (bod.hasClass('wide')) {
bod.removeClass('wide');
bod.css('margin-left', wid_old);
bar.css('width', wid_old);
bar.show();
set_state('visible');
} else {
set_state('hidden');
bar.hide();
bar.css('width', '0px');
bod.css('margin-left', wid_new);
bod.addClass('wide');
}
resize();
});
/* Hide the normally visible sidebar? */
if (get_state() === 'hidden') {
tog.trigger('click');
} else {
set_state('visible');
}
});
</script>
</body>
</html>
