<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>Полиномы — Sage Tutorial in Russian v5.9</title>
<link rel="stylesheet" href="_static/sage.css" type="text/css" />
<link rel="stylesheet" href="_static/pygments.css" type="text/css" />
<script type="text/javascript">
var DOCUMENTATION_OPTIONS = {
URL_ROOT: '',
VERSION: '5.9',
COLLAPSE_INDEX: false,
FILE_SUFFIX: '.html',
HAS_SOURCE: true
};
</script>
<script type="text/javascript" src="_static/jquery.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/underscore.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/doctools.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/translations.js"></script>
<link rel="shortcut icon" href="_static/favicon.ico"/>
<link rel="top" title="Sage Tutorial in Russian v5.9" href="index.html" />
<link rel="up" title="Тур по Sage" href="tour.html" />
<link rel="next" title="Конечные группы, Абелевы группы" href="tour_groups.html" />
<link rel="prev" title="Линейная алгебра" href="tour_linalg.html" />
<link rel="icon" href="_static/sageicon.png" type="image/x-icon" />
</head>
<body>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
accesskey="I">словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_groups.html" title="Конечные группы, Абелевы группы"
accesskey="N">следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_linalg.html" title="Линейная алгебра"
accesskey="P">предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" accesskey="U">Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="document">
<div class="documentwrapper">
<div class="bodywrapper">
<div class="body">
<div class="section" id="section-poly">
<span id="id1"></span><h1>Полиномы<a class="headerlink" href="#section-poly" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h1>
<p>Данный раздел содержит информацию о том, как создавать и использовать
полиномы в Sage.</p>
<div class="section" id="section-univariate">
<span id="id2"></span><h2>Полиномы одной переменной<a class="headerlink" href="#section-univariate" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>Есть три способа создания полиномиальных колец.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')</span>
<span class="go">sage: R</span>
<span class="go">Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field</span>
</pre></div>
</div>
<p>Данный способ создаст полиномиальное кольцо и укажет Sage использовать
строку ‘t’ в качестве неизвестного при выводе на экран. Однако, это не
определяет символ <tt class="docutils literal"><span class="pre">t</span></tt> для использования в Sage, так что нельзя при помощи
него ввести полином (как <img class="math" src="_images/math/8a00b57e20a3a538f38897e96329a9e4674c797c.png" alt="t^2+1"/>), принадлежащий <tt class="docutils literal"><span class="pre">R</span></tt>.</p>
<p>Другой способ:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: S = QQ['t']</span>
<span class="go">sage: S == R</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Этот способ имеет ту же проблему по отношению к <tt class="docutils literal"><span class="pre">t</span></tt>.</p>
<p>Третий способ более удобный</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)</span>
</pre></div>
</div>
<p>или</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<t> = QQ['t']</span>
</pre></div>
</div>
<p>или даже</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<t> = QQ[]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Этот способ влечет за собой объявление переменной <tt class="docutils literal"><span class="pre">t</span></tt> как неизвестного
в полиномиальном кольце так, что ее можно использовать при создании
элементов <tt class="docutils literal"><span class="pre">R</span></tt>, как описано ниже. (Заметьте, что третий способ похож на
обозначение конструктора в Magma, и, как в Magma, он может быть
использован для широкого набора объектов.)</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: poly = (t+1) * (t+2); poly</span>
<span class="go">t^2 + 3*t + 2</span>
<span class="go">sage: poly in R</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Какой бы способ ни использовался для задания полиномиального кольца,
можно вычленить неизвестное в виде <img class="math" src="_images/math/3e2e1ce17391902fc85100ef31da75fdb5be701f.png" alt="0^{th}"/> генератора:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')</span>
<span class="go">sage: t = R.0</span>
<span class="go">sage: t in R</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Похожая конструкция используется для комплексных чисел: комплексные
числа могут быть рассмотрены как генерированные из вещественных чисел
с использованием символа <tt class="docutils literal"><span class="pre">i</span></tt>; из этого следует:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: CC</span>
<span class="go">Complex Field with 53 bits of precision</span>
<span class="go">sage: CC.0 # 0-ой генератор CC</span>
<span class="go">1.00000000000000*I</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для полиномиальных колец можно получить и кольцо, и его генератор,
или просто генератор во время создания кольца:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R, t = QQ['t'].objgen()</span>
<span class="go">sage: t = QQ['t'].gen()</span>
<span class="go">sage: R, t = objgen(QQ['t'])</span>
<span class="go">sage: t = gen(QQ['t'])</span>
</pre></div>
</div>
<p>Наконец, можно совершить некоторые арифметические опрерации в <img class="math" src="_images/math/b98c8bc06f91190aef10380e94d98b85005c29d9.png" alt="\QQ[t]"/>.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R, t = QQ['t'].objgen()</span>
<span class="go">sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19</span>
<span class="go">sage: f^2</span>
<span class="go">4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361</span>
<span class="go">sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo</span>
<span class="go">t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1</span>
<span class="go">sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)</span>
<span class="go">sage: g</span>
<span class="go">7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9</span>
<span class="go"> + 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5</span>
<span class="go">sage: F = factor(g); F</span>
<span class="go">(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)</span>
<span class="go">sage: F.unit()</span>
<span class="go">7</span>
<span class="go">sage: list(F)</span>
<span class="go">[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]</span>
</pre></div>
</div>
<p>Деление двух полиномов создаст элемент в дробном поле, что будет сделано
Sage автоматически.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: x = QQ['x'].0</span>
<span class="go">sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17</span>
<span class="go">sage: h = f/g; h</span>
<span class="go">(x^3 + 1)/(x^2 - 17)</span>
<span class="go">sage: h.parent()</span>
<span class="go">Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field</span>
</pre></div>
</div>
<p>Используя ряды Лорана, можно посчитать разложение в ряд в дробном поле <tt class="docutils literal"><span class="pre">QQ[x]</span></tt>:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R</span>
<span class="go">Laurent Series Ring in x over Rational Field</span>
<span class="go">sage: 1/(1-x) + O(x^10)</span>
<span class="go">1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Если назвать переменную по-другому, можно получить другое одномерное
полиномиальное кольцо.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)</span>
<span class="go">sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)</span>
<span class="go">sage: x == y</span>
<span class="go">False</span>
<span class="go">sage: R == S</span>
<span class="go">False</span>
<span class="go">sage: R(y)</span>
<span class="go">x</span>
<span class="go">sage: R(y^2 - 17)</span>
<span class="go">x^2 - 17</span>
</pre></div>
</div>
<p>Кольцо определяется переменной. Обратите внимание, что создание ещё
одного кольца с переменной <tt class="docutils literal"><span class="pre">x</span></tt> не вернет другого кольца.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")</span>
<span class="go">sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")</span>
<span class="go">sage: R == T</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: R is T</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: R.0 == T.0</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Sage поддерживает кольца степенных рядов и рядов Лорана для любого
базисного кольца. В следующем примере создадим элемент из <img class="math" src="_images/math/0d054bcbcbf87b8d03b8105520077d81ab9d442c.png" alt="\GF{7}[[T]]"/>
и поделим, чтобы создать элемент из <img class="math" src="_images/math/494316fc12a628e1a24484454c504b0b0a59845e.png" alt="\GF{7}((T))"/>.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R</span>
<span class="go">Power Series Ring in T over Finite Field of size 7</span>
<span class="go">sage: f = T + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)</span>
<span class="go">sage: f^3</span>
<span class="go">T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)</span>
<span class="go">sage: 1/f</span>
<span class="go">T^-1 + 4 + T + O(T^2)</span>
<span class="go">sage: parent(1/f)</span>
<span class="go">Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7</span>
</pre></div>
</div>
<p>Также можно создавать кольца степенных рядов, используя двойные скобки:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: GF(7)[['T']]</span>
<span class="go">Power Series Ring in T over Finite Field of size 7</span>
</pre></div>
</div>
</div>
<div class="section" id="id3">
<h2>Полиномы нескольких переменных<a class="headerlink" href="#id3" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h2>
<p>Для работы с полиномами с несколькими переменными, сначала надо объявить
полиномиальное кольцо и переменные.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # здесь 3 - это число переменных</span>
<span class="go">sage: R</span>
<span class="go">Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5</span>
</pre></div>
</div>
<p>Так же, как и для одномерных полиномов, существует несколько путей:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: GF(5)['z0, z1, z2']</span>
<span class="go">Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5</span>
<span class="go">sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R</span>
<span class="go">Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5</span>
</pre></div>
</div>
<p>Чтобы имена переменных состояли из букв, надо использовать следующее:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: PolynomialRing(GF(5), 'x, y, z')</span>
<span class="go">Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5</span>
</pre></div>
</div>
<p>Немного арифметики:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()</span>
<span class="go">sage: z</span>
<span class="go">(z0, z1, z2)</span>
<span class="go">sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2</span>
<span class="go">z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2</span>
</pre></div>
</div>
<p>Можно использовать более математическое обозначение, чтобы построить
полиномиальное кольцо.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R = GF(5)['x,y,z']</span>
<span class="go">sage: x,y,z = R.gens()</span>
<span class="go">sage: QQ['x']</span>
<span class="go">Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field</span>
<span class="go">sage: QQ['x,y'].gens()</span>
<span class="go">(x, y)</span>
<span class="go">sage: QQ['x'].objgens()</span>
<span class="go">(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))</span>
</pre></div>
</div>
<p>Многомерные полиномы внедрены в Sage с использованием словарей Python.
Sage использует Singular <a class="reference internal" href="bibliography.html#si">[Si]</a> для вычислений НОД и базиса Грёбнера идеалов.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 'x, y').objgens()</span>
<span class="go">sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2</span>
<span class="go">sage: g = x^2*y^2</span>
<span class="go">sage: f.gcd(g)</span>
<span class="go">x^2</span>
</pre></div>
</div>
<p>Создадим идеал <img class="math" src="_images/math/db7b42a61095556ced1af91db9457c2a5c442b96.png" alt="(f,g)"/>, генерированный из <img class="math" src="_images/math/bb2c93730dbb48558bb3c4738c956c4e8f816437.png" alt="f"/> и <img class="math" src="_images/math/bb2c93730dbb48558bb3c4738c956c4e8f816437.png" alt="f"/>
умножением <tt class="docutils literal"><span class="pre">(f,g)</span></tt> на <tt class="docutils literal"><span class="pre">R</span></tt>.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: I = (f, g)*R; I</span>
<span class="go">Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial</span>
<span class="go">Ring in x, y over Rational Field</span>
<span class="go">sage: B = I.groebner_basis(); B</span>
<span class="go">[x^6, x^2*y^2]</span>
<span class="go">sage: x^2 in I</span>
<span class="go">False</span>
</pre></div>
</div>
<p>Кстати, базис Грёбнера является не списком, а неизменяемой последовательностью.
Это означает, что у него есть универсум, родитель и что он не может
быть изменен (что хорошо, поскольку изменение базиса нарушило бы другие
операции, использующие базис Грёбнера).</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: B.parent()</span>
<span class="go">Category of sequences in Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational</span>
<span class="go">Field</span>
<span class="go">sage: B.universe()</span>
<span class="go">Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field</span>
<span class="go">sage: B[1] = x</span>
<span class="gt">Traceback (most recent call last):</span>
<span class="c">...</span>
<span class="gr">ValueError</span>: <span class="n">object is immutable; please change a copy instead.</span>
</pre></div>
</div>
<p>Некоторая коммутативная алгебра доступна в Sage и внедрена с помощью
Singular. К примеру, можно посчитать примарное разложение и простые
соответствующие для <img class="math" src="_images/math/027f4a11d6090f9eac0ce2488df6384dad1263ea.png" alt="I"/>:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: I.primary_decomposition()</span>
<span class="go">[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,</span>
<span class="go"> Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]</span>
<span class="go">sage: I.associated_primes()</span>
<span class="go">[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,</span>
<span class="go"> Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]</span>
</pre></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar">
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<h3><a href="index.html">Содержание</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">Полиномы</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#section-univariate">Полиномы одной переменной</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#id3">Полиномы нескольких переменных</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
<h4>Предыдущий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_linalg.html"
title="предыдущая глава">Линейная алгебра</a></p>
<h4>Следующий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_groups.html"
title="следующая глава">Конечные группы, Абелевы группы</a></p>
<h3>На этой странице</h3>
<ul class="this-page-menu">
<li><a href="_sources/tour_polynomial.txt"
rel="nofollow">Показать исходный текст</a></li>
</ul>
<div id="searchbox" style="display: none">
<h3>Быстрый поиск</h3>
<form class="search" action="search.html" method="get">
<input type="text" name="q" size="18" />
<!-- The shading of the "Go" button should be consistent -->
<!-- with the colour of the header and footer. See the file -->
<!-- doc/common/themes/sage/theme.conf for colours used by -->
<!-- the Sage theme. -->
<input type="submit" style="background-color: #B8B9F6" value="Искать" />
<input type="hidden" name="check_keywords" value="yes" />
<input type="hidden" name="area" value="default" />
</form>
<p class="searchtip" style="font-size: 90%">
Введите слова для поиска или имя модуля, класса или функции.
</p>
</div>
<script type="text/javascript">$('#searchbox').show(0);</script>
</div>
</div>
<div class="clearer"></div>
</div>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
>словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_groups.html" title="Конечные группы, Абелевы группы"
>следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_linalg.html" title="Линейная алгебра"
>предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" >Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="footer">
© Copyright 2005--2011, The Sage Development Team.
При создании использован <a href="http://sphinx.pocoo.org/">Sphinx</a> 1.1.3.
</div>
<script type="text/javascript">
/*global jQuery, window */
/* Sphinx sidebar toggle. Putting this code at the end of the body
* enables the toggle for the live, static, and offline docs. Note:
* sage.misc.html.math_parse() eats jQuery's dollar-sign shortcut. */
var jq = jQuery;
jq(document).ready(function () {
var bar, bod, bg, fg, key, tog, wid_old, wid_new, resize, get_state, set_state;
bod = jq('div.bodywrapper');
bar = jq('div.sphinxsidebar');
tog = jq('<div class="sphinxsidebartoggle"></div>');
/* Delayed resize helper. Not perfect but good enough. */
resize = function () {
setTimeout(function () {
tog.height(bod.height());
}, 100);
};
jq(window).resize(function () {
resize();
});
/* Setup and add the toggle. See Sphinx v0.5.1 default.css. */
fg = jq('div.sphinxsidebar p a').css('color') || 'rgb(152, 219, 204)';
bg = jq('div.document').css('background-color') || 'rgb(28, 78, 99)';
wid_old = '230px';
wid_new = '5px';
tog.css('background-color', bg)
.css('border-width', '0px')
.css('border-right', wid_new + ' ridge ' + bg)
.css('cursor', 'pointer')
.css('position', 'absolute')
.css('left', '-' + wid_new)
.css('top', '0px')
.css('width', wid_new);
bod.css('position', 'relative');
bod.prepend(tog);
resize();
/* Cookie helpers. */
key = 'sphinxsidebar=';
set_state = function (s) {
var date = new Date();
/* Expiry in 7 days. */
date.setTime(date.getTime() + (7 * 24 * 3600 * 1000));
document.cookie = key + encodeURIComponent(s) + '; expires=' +
date.toUTCString() + '; path=/';
};
get_state = function () {
var i, c, crumbs = document.cookie.split(';');
for (i = 0; i < crumbs.length; i += 1) {
c = crumbs[i].replace(/^\s+/, '');
if (c.indexOf(key) === 0) {
return decodeURIComponent(c.substring(key.length, c.length));
}
}
return null;
};
/* Event handlers. */
tog.mouseover(function (ev) {
tog.css('border-right-color', fg);
}).mouseout(function (ev) {
tog.css('border-right-color', bg);
}).click(function (ev) {
if (bod.hasClass('wide')) {
bod.removeClass('wide');
bod.css('margin-left', wid_old);
bar.css('width', wid_old);
bar.show();
set_state('visible');
} else {
set_state('hidden');
bar.hide();
bar.css('width', '0px');
bod.css('margin-left', wid_new);
bod.addClass('wide');
}
resize();
});
/* Hide the normally visible sidebar? */
if (get_state() === 'hidden') {
tog.trigger('click');
} else {
set_state('visible');
}
});
</script>
</body>
</html>
