<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"
"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>Основные кольца — Sage Tutorial in Russian v5.9</title>
<link rel="stylesheet" href="_static/sage.css" type="text/css" />
<link rel="stylesheet" href="_static/pygments.css" type="text/css" />
<script type="text/javascript">
var DOCUMENTATION_OPTIONS = {
URL_ROOT: '',
VERSION: '5.9',
COLLAPSE_INDEX: false,
FILE_SUFFIX: '.html',
HAS_SOURCE: true
};
</script>
<script type="text/javascript" src="_static/jquery.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/underscore.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/doctools.js"></script>
<script type="text/javascript" src="_static/translations.js"></script>
<link rel="shortcut icon" href="_static/favicon.ico"/>
<link rel="top" title="Sage Tutorial in Russian v5.9" href="index.html" />
<link rel="up" title="Тур по Sage" href="tour.html" />
<link rel="next" title="Линейная алгебра" href="tour_linalg.html" />
<link rel="prev" title="Распространённые проблемы с функциями" href="tour_functions.html" />
<link rel="icon" href="_static/sageicon.png" type="image/x-icon" />
</head>
<body>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
accesskey="I">словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_linalg.html" title="Линейная алгебра"
accesskey="N">следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_functions.html" title="Распространённые проблемы с функциями"
accesskey="P">предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" accesskey="U">Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="document">
<div class="documentwrapper">
<div class="bodywrapper">
<div class="body">
<div class="section" id="section-rings">
<span id="id1"></span><h1>Основные кольца<a class="headerlink" href="#section-rings" title="Ссылка на этот заголовок">¶</a></h1>
<p>При объявлении матриц, векторов или полиномов для них иногда полезно,
а иногда и необходимо определять “кольца”, на которых они определены.
<em>Кольцо</em> - это математическая конструкция, в которой существуют
определенные понятия суммы и произведения. Если вы никогда о них не
слышали, то вам, вероятно, достаточно знать об этих четырех часто
используемых кольцах:</p>
<ul class="simple">
<li>целые числа <img class="math" src="_images/math/2601ef5b13758c65b09749d015033f5e34022c0e.png" alt="\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}"/>, называемые <tt class="docutils literal"><span class="pre">ZZ</span></tt> в Sage.</li>
<li>рациональные числа – например, дроби или отношения целых чисел –-,
называемые <tt class="docutils literal"><span class="pre">QQ</span></tt> в Sage.</li>
<li>вещественные числа, называемые <tt class="docutils literal"><span class="pre">RR</span></tt> в Sage.</li>
<li>комплексные числа, называемые <tt class="docutils literal"><span class="pre">CC</span></tt> в Sage.</li>
</ul>
<p>Знание различий между данными кольцами очень важно, так как один и
тот же полином, определенный в разных кольцах, может вести себя
по-разному. Например, полином <img class="math" src="_images/math/a201fddef752223c4dadd1238207df8ca4ef4d8b.png" alt="x^2-2"/> имеет два корня: <img class="math" src="_images/math/5d67061323ee2f02dabd7a4728075808f7d2e6dd.png" alt="\pm \sqrt{2}"/>.
Эти корни не являются рациональными числами, поэтому если вы работаете
с полиномами с рациональными коэффициентами, то полином не будет
разлагаться на множители. С вещественными коэффициентами — будет.
Поэтому стоит определить кольцо, чтобы быть уверенным, что полученный
результат будет правильным. Следующие две команды задают множества
полиномов с рациональными коэффициентами и вещественными коэффициентами
соответственно. Множества названы “ratpoly” и “realpoly”, но это не
столь важно в данном контексте, однако символьные сочетания ”.<t>” и
”.<z>” являются названиями переменных, использованных в двух случаях.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)</span>
<span class="go">sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Факторизируем <img class="math" src="_images/math/a201fddef752223c4dadd1238207df8ca4ef4d8b.png" alt="x^2-2"/>:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: factor(t^2-2)</span>
<span class="go">t^2 - 2</span>
<span class="go">sage: factor(z^2-2)</span>
<span class="go">(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Символ <tt class="docutils literal"><span class="pre">I</span></tt> обозначает квадратный корень из <img class="math" src="_images/math/bae5aba07d37ff6ff813107e76260fb31ad5794e.png" alt="-1"/>; <tt class="docutils literal"><span class="pre">i</span></tt> — это
то же самое, что <tt class="docutils literal"><span class="pre">I</span></tt>. Конечно, это не рациональное число:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: i # квадратный корень из -1</span>
<span class="go">I</span>
<span class="go">sage: i in QQ</span>
<span class="go">False</span>
</pre></div>
</div>
<p>Заметка: Вышеописанный код может работать не так, как задумывалось,
если переменной <tt class="docutils literal"><span class="pre">i</span></tt> было задано другое значение, например, если
оно было использовано, как счетчик для цикла. В таком случае введите</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: reset('i')</span>
</pre></div>
</div>
<p>для того, чтобы получить изначальное комплексное значение <tt class="docutils literal"><span class="pre">i</span></tt>.</p>
<p>Есть одна тонкость в задании комплексных чисел: как описано выше,
символ <tt class="docutils literal"><span class="pre">i</span></tt> представляет квадратный корень из <img class="math" src="_images/math/bae5aba07d37ff6ff813107e76260fb31ad5794e.png" alt="-1"/>, но это <em>формальный</em>
или <em>символичный</em> квадратный корень из <img class="math" src="_images/math/bae5aba07d37ff6ff813107e76260fb31ad5794e.png" alt="-1"/>. Вызов <tt class="docutils literal"><span class="pre">CC(i)</span></tt> или
<tt class="docutils literal"><span class="pre">CC.0</span></tt> вернет <em>комплексный</em> квадратный корень из <img class="math" src="_images/math/bae5aba07d37ff6ff813107e76260fb31ad5794e.png" alt="-1"/>.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: i = CC(i) # комплексное число с плавающей запятой</span>
<span class="go">sage: i == CC.0</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: a, b = 4/3, 2/3</span>
<span class="go">sage: z = a + b*i</span>
<span class="go">sage: z</span>
<span class="go">1.33333333333333 + 0.666666666666667*I</span>
<span class="go">sage: z.imag() # мнимая часть</span>
<span class="go">0.666666666666667</span>
<span class="go">sage: z.real() == a # автоматическое приведение типов перед сравнением</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: a + b</span>
<span class="go">2</span>
<span class="go">sage: 2*b == a</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: parent(2/3)</span>
<span class="go">Rational Field</span>
<span class="go">sage: parent(4/2)</span>
<span class="go">Rational Field</span>
<span class="go">sage: 2/3 + 0.1 # автоматическое приведение типов перед сложением</span>
<span class="go">0.766666666666667</span>
<span class="go">sage: 0.1 + 2/3 # приведение типов в Sage симметрично</span>
<span class="go">0.766666666666667</span>
</pre></div>
</div>
<p>Далее следуют примеры базовых колец в Sage. Как отмечено выше,
кольцо рациональных чисел обозначается как <tt class="docutils literal"><span class="pre">QQ</span></tt>, а также как
<tt class="docutils literal"><span class="pre">RationalField()</span></tt> (<em>поле</em> - это кольцо, в котором произведение
является коммутативным и в котором каждый ненулевой элемент имеет
обратную величину в этом кольце (рациональные числа являются полем,
а целые - нет):</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: RationalField()</span>
<span class="go">Rational Field</span>
<span class="go">sage: QQ</span>
<span class="go">Rational Field</span>
<span class="go">sage: 1/2 in QQ</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Десятичное число <tt class="docutils literal"><span class="pre">1.2</span></tt> рассматривается как <tt class="docutils literal"><span class="pre">QQ</span></tt>: десятичные числа,
которые также являются рациональными, могут быть “приведены” к
рациональным числам. Числа <img class="math" src="_images/math/f2ca003a7da0de4994b4733e203b74ff52d42553.png" alt="\pi"/> и <img class="math" src="_images/math/2c4dc1409208ff6a3039f4871d85c16763334983.png" alt="\sqrt{2}"/> не являются рациональными:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: 1.2 in QQ</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: pi in QQ</span>
<span class="go">False</span>
<span class="go">sage: pi in RR</span>
<span class="go">True</span>
<span class="go">sage: sqrt(2) in QQ</span>
<span class="go">False</span>
<span class="go">sage: sqrt(2) in CC</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>Для использования в высшей математике Sage также может выполнять операции
с другими кольцами, как конечные поля, <img class="math" src="_images/math/36f73fc1312ee0349b3f3a0f3bd9eb5504339011.png" alt="p"/>-адические числа, кольцо
алгебраических чисел, полиномиальные кольца и матричные кольца. Далее
показаны некоторые из них:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: GF(3)</span>
<span class="go">Finite Field of size 3</span>
<span class="go">sage: GF(27, 'a') # если поле не простое, нужно задать имя генератора</span>
<span class="go">Finite Field in a of size 3^3</span>
<span class="go">sage: Zp(5)</span>
<span class="go">5-adic Ring with capped relative precision 20</span>
<span class="go">sage: sqrt(3) in QQbar # алгебраическое замыкакие QQ</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar">
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<h4>Предыдущий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_functions.html"
title="предыдущая глава">Распространённые проблемы с функциями</a></p>
<h4>Следующий раздел</h4>
<p class="topless"><a href="tour_linalg.html"
title="следующая глава">Линейная алгебра</a></p>
<h3>На этой странице</h3>
<ul class="this-page-menu">
<li><a href="_sources/tour_rings.txt"
rel="nofollow">Показать исходный текст</a></li>
</ul>
<div id="searchbox" style="display: none">
<h3>Быстрый поиск</h3>
<form class="search" action="search.html" method="get">
<input type="text" name="q" size="18" />
<!-- The shading of the "Go" button should be consistent -->
<!-- with the colour of the header and footer. See the file -->
<!-- doc/common/themes/sage/theme.conf for colours used by -->
<!-- the Sage theme. -->
<input type="submit" style="background-color: #B8B9F6" value="Искать" />
<input type="hidden" name="check_keywords" value="yes" />
<input type="hidden" name="area" value="default" />
</form>
<p class="searchtip" style="font-size: 90%">
Введите слова для поиска или имя модуля, класса или функции.
</p>
</div>
<script type="text/javascript">$('#searchbox').show(0);</script>
</div>
</div>
<div class="clearer"></div>
</div>
<div class="related">
<h3>Просмотр</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="genindex.html" title="Словарь-указатель"
>словарь</a></li>
<li class="right" >
<a href="py-modindex.html" title="Python Module Index"
>модули</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_linalg.html" title="Линейная алгебра"
>следующий</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="tour_functions.html" title="Распространённые проблемы с функциями"
>предыдущий</a> |</li>
<a href="../index.html"><img src="_static/sagelogo.png" style="vertical-align: middle" title="Sage Logo"></a>
<li><a href="index.html">Sage Tutorial in Russian v5.9</a> »</li>
<li><a href="tour.html" >Тур по Sage</a> »</li>
</ul>
</div>
<div class="footer">
© Copyright 2005--2011, The Sage Development Team.
При создании использован <a href="http://sphinx.pocoo.org/">Sphinx</a> 1.1.3.
</div>
<script type="text/javascript">
/*global jQuery, window */
/* Sphinx sidebar toggle. Putting this code at the end of the body
* enables the toggle for the live, static, and offline docs. Note:
* sage.misc.html.math_parse() eats jQuery's dollar-sign shortcut. */
var jq = jQuery;
jq(document).ready(function () {
var bar, bod, bg, fg, key, tog, wid_old, wid_new, resize, get_state, set_state;
bod = jq('div.bodywrapper');
bar = jq('div.sphinxsidebar');
tog = jq('<div class="sphinxsidebartoggle"></div>');
/* Delayed resize helper. Not perfect but good enough. */
resize = function () {
setTimeout(function () {
tog.height(bod.height());
}, 100);
};
jq(window).resize(function () {
resize();
});
/* Setup and add the toggle. See Sphinx v0.5.1 default.css. */
fg = jq('div.sphinxsidebar p a').css('color') || 'rgb(152, 219, 204)';
bg = jq('div.document').css('background-color') || 'rgb(28, 78, 99)';
wid_old = '230px';
wid_new = '5px';
tog.css('background-color', bg)
.css('border-width', '0px')
.css('border-right', wid_new + ' ridge ' + bg)
.css('cursor', 'pointer')
.css('position', 'absolute')
.css('left', '-' + wid_new)
.css('top', '0px')
.css('width', wid_new);
bod.css('position', 'relative');
bod.prepend(tog);
resize();
/* Cookie helpers. */
key = 'sphinxsidebar=';
set_state = function (s) {
var date = new Date();
/* Expiry in 7 days. */
date.setTime(date.getTime() + (7 * 24 * 3600 * 1000));
document.cookie = key + encodeURIComponent(s) + '; expires=' +
date.toUTCString() + '; path=/';
};
get_state = function () {
var i, c, crumbs = document.cookie.split(';');
for (i = 0; i < crumbs.length; i += 1) {
c = crumbs[i].replace(/^\s+/, '');
if (c.indexOf(key) === 0) {
return decodeURIComponent(c.substring(key.length, c.length));
}
}
return null;
};
/* Event handlers. */
tog.mouseover(function (ev) {
tog.css('border-right-color', fg);
}).mouseout(function (ev) {
tog.css('border-right-color', bg);
}).click(function (ev) {
if (bod.hasClass('wide')) {
bod.removeClass('wide');
bod.css('margin-left', wid_old);
bar.css('width', wid_old);
bar.show();
set_state('visible');
} else {
set_state('hidden');
bar.hide();
bar.css('width', '0px');
bod.css('margin-left', wid_new);
bod.addClass('wide');
}
resize();
});
/* Hide the normally visible sidebar? */
if (get_state() === 'hidden') {
tog.trigger('click');
} else {
set_state('visible');
}
});
</script>
</body>
</html>
