Конечные группы, Абелевы группы
===============================

Sage поддерживает вычисления с группами перестановок, конечными 
классическими группами (как, например, :math:`SU(n,q)`), конечными 
матричными группами (с собственными генераторами) и группами Абеля 
(даже с бесконечными). Многое из этого осуществляется посредством 
интерфейса к GAP.

Например, чтобы построить группу перестановок, надо задать список генераторов:

::

    sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)', '(3,4)'])
    sage: G
    Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)]
    sage: G.order()
    120
    sage: G.is_abelian()
    False
    sage: G.derived_series()           # random output
    [Permutation Group with generators [(1,2,3)(4,5), (3,4)],
     Permutation Group with generators [(1,5)(3,4), (1,5)(2,4), (1,3,5)]]
    sage: G.center()
    Subgroup of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)]) generated by [()]
    sage: G.random_element()           # random output
    (1,5,3)(2,4)
    sage: print latex(G)
    \langle (3,4), (1,2,3)(4,5) \rangle

Также можно получить символьную таблицу в формате LaTeX:

::

    sage: G = PermutationGroup([[(1,2),(3,4)], [(1,2,3)]])
    sage: latex(G.character_table())
    \left(\begin{array}{rrrr}
    1 & 1 & 1 & 1 \\
    1 & 1 & -\zeta_{3} - 1 & \zeta_{3} \\
    1 & 1 & \zeta_{3} & -\zeta_{3} - 1 \\
    3 & -1 & 0 & 0
    \end{array}\right)

Sage также включает в себя классические и матричные группы для конечных полей:

::

    sage: MS = MatrixSpace(GF(7), 2)
    sage: gens = [MS([[1,0],[-1,1]]),MS([[1,1],[0,1]])]
    sage: G = MatrixGroup(gens)
    sage: G.conjugacy_class_representatives()
        [
        [1 0]
        [0 1],
        [0 1]
        [6 1],
        ...
        [6 0]
        [0 6]
        ]
    sage: G = Sp(4,GF(7))
    sage: G._gap_init_()
    'Sp(4, 7)'
    sage: G
    Symplectic Group of rank 2 over Finite Field of size 7
    sage: G.random_element()             # random output
    [5 5 5 1]
    [0 2 6 3]
    [5 0 1 0]
    [4 6 3 4]
    sage: G.order()
    276595200

Также можно производить вычисления с группами Абеля (конечными и бесконечными):

::

    sage: F = AbelianGroup(5, [5,5,7,8,9], names='abcde')
    sage: (a, b, c, d, e) = F.gens()
    sage: d * b**2 * c**3 
    b^2*c^3*d
    sage: F = AbelianGroup(3,[2]*3); F
    Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C2 x C2
    sage: H = AbelianGroup([2,3], names="xy"); H
    Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C3
    sage: AbelianGroup(5)
    Multiplicative Abelian group isomorphic to Z x Z x Z x Z x Z
    sage: AbelianGroup(5).order()
    +Infinity