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<title>Problèmes fréquents concernant les fonctions — Tutoriel Sage v5.9</title>
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<div class="section" id="problemes-frequents-concernant-les-fonctions">
<span id="section-functions-issues"></span><h1>Problèmes fréquents concernant les fonctions<a class="headerlink" href="#problemes-frequents-concernant-les-fonctions" title="Lien permanent vers ce titre">¶</a></h1>
<p>La définition de fonctions, par exemple pour calculer leurs dérivées ou
tracer leurs courbes représentatives, donne lieu à un certain nombre de
confusions. Le but de cette section est de clarifier quelques points à
l’origine de ces confusions.</p>
<p>Il y a plusieurs façons de définir un objet que l’on peut légitimement
appeler « fonction ».</p>
<p>1. Définir une fonction Python, comme expliqué dans la section <a class="reference internal" href="tour_help.html#section-functions"><em>Fonctions, indentation et itération</em></a>. Les fonctions Python peuvent être utilisées
pour tracer des courbes, mais pas dérivées ou intégrées symboliquement:</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: def f(z): return z^2</span>
<span class="go">sage: type(f)</span>
<span class="go"><type 'function'></span>
<span class="go">sage: f(3)</span>
<span class="go">9</span>
<span class="go">sage: plot(f, 0, 2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Remarquez la syntaxe de la dernière ligne. Écrire plutôt <tt class="docutils literal"><span class="pre">plot(f(z),</span> <span class="pre">0,</span> <span class="pre">2)</span></tt>
provoquerait une erreur : en effet, le <tt class="docutils literal"><span class="pre">z</span></tt> qui apparaît dans
la définition de <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span></tt> est une variable muette qui n’a pas de sens
en-dehors de la définition. Un simple <tt class="docutils literal"><span class="pre">f(z)</span></tt> déclenche la même erreur.
En l’occurrence, faire de <tt class="docutils literal"><span class="pre">z</span></tt> une variable symbolique comme dans
l’exemple ci-dessous fonctionne, mais cette façon de faire soulève
d’autres problèmes (voir le point 4 ci-dessous), et il vaut mieux
s’abstenir de l’utiliser</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: var('z') # on définit z comme variable symbolique</span>
<span class="go">z</span>
<span class="go">sage: f(z)</span>
<span class="go">z^2</span>
<span class="go">sage: plot(f(z), 0, 2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>L’appel de fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">f(z)</span></tt> renvoie ici l’expression symbolique
<tt class="docutils literal"><span class="pre">z^2</span></tt>, qui est alors utilisée par la fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">plot</span></tt>.</p>
<p>2. Définir une expression symbolique fonctionnelle (« appelable »). Une
telle expression représente une fonction dont on peut tracer le graphe,
et que l’on peut aussi dériver ou intégrer symboliquement</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: g(x) = x^2</span>
<span class="go">sage: g # g envoie x sur x^2</span>
<span class="go">x |--> x^2</span>
<span class="go">sage: g(3)</span>
<span class="go">9</span>
<span class="go">sage: Dg = g.derivative(); Dg</span>
<span class="go">x |--> 2*x</span>
<span class="go">sage: Dg(3)</span>
<span class="go">6</span>
<span class="go">sage: type(g)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
<span class="go">sage: plot(g, 0, 2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Notez que, si <tt class="docutils literal"><span class="pre">g</span></tt> est une expression symbolique fonctionnelle
(<tt class="docutils literal"><span class="pre">x</span> <span class="pre">|--></span> <span class="pre">x^2</span></tt>), l’objet <tt class="docutils literal"><span class="pre">g(x)</span></tt> (<tt class="docutils literal"><span class="pre">x^2</span></tt>) est d’une nature un
peu différente. Les expressions comme <tt class="docutils literal"><span class="pre">g(x)</span></tt> peuvent aussi être
tracées, dérivées, intégrées, etc., avec cependant quelques difficultés
illustrées dans le point 5 ci-dessous.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: g(x)</span>
<span class="go">x^2</span>
<span class="go">sage: type(g(x))</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
<span class="go">sage: g(x).derivative()</span>
<span class="go">2*x</span>
<span class="go">sage: plot(g(x), 0, 2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>3. Utiliser une fonction usuelle prédéfinie de Sage. Celles-ci peuvent
servir à tracer des courbes, et, indirectement, être dérivées ou intégrées</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: type(sin)</span>
<span class="go"><class 'sage.functions.trig.Function_sin'></span>
<span class="go">sage: plot(sin, 0, 2)</span>
<span class="go">sage: type(sin(x))</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
<span class="go">sage: plot(sin(x), 0, 2)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Il n’est pas possible de dériver la fonction <tt class="docutils literal"><span class="pre">sin</span></tt> tout court pour
obtenir <tt class="docutils literal"><span class="pre">cos</span></tt></p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = sin</span>
<span class="go">sage: f.derivative()</span>
<span class="gt">Traceback (most recent call last):</span>
<span class="c">...</span>
<span class="gr">AttributeError</span>: <span class="n">...</span>
</pre></div>
</div>
<p>Une possibilité est de remplacer <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span> <span class="pre">=</span> <span class="pre">sin</span></tt> par <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span> <span class="pre">=</span> <span class="pre">sin(x)</span></tt>, mais il
est généralement préférable de définir une expression symbolique
fonctionnelle <tt class="docutils literal"><span class="pre">f(x)</span> <span class="pre">=</span> <span class="pre">sin(x)</span></tt></p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: S(x) = sin(x)</span>
<span class="go">sage: S.derivative()</span>
<span class="go">x |--> cos(x)</span>
</pre></div>
</div>
<p>Examinons maintenant quelques problèmes fréquents.</p>
<p>4. Évaluation accidentelle</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: def h(x):</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">if</span> <span class="n">x</span> <span class="o"><</span> <span class="mi">2</span><span class="p">:</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">return</span> <span class="mi">0</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">else</span><span class="p">:</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">return</span> <span class="n">x</span><span class="o">-</span><span class="mi">2</span>
</pre></div>
</div>
<p>Problème : <tt class="docutils literal"><span class="pre">plot(h(x),</span> <span class="pre">0,</span> <span class="pre">4)</span></tt> trace la droite <img class="math" src="_images/math/9c36931fc180e3596ce6d7b1fb1aa3da65686661.png" alt="y = x - 2"/>, et non pas la
fonction affine par morceaux définie par <tt class="docutils literal"><span class="pre">h</span></tt>. Pourquoi ? Lors de l’exécution,
<tt class="docutils literal"><span class="pre">plot(h(x),</span> <span class="pre">0,</span> <span class="pre">4)</span></tt> évalue d’abord <tt class="docutils literal"><span class="pre">h(x)</span></tt> : la fonction
Python <tt class="docutils literal"><span class="pre">h</span></tt> est appelée avec le paramètre <tt class="docutils literal"><span class="pre">x</span></tt>, et la condition <tt class="docutils literal"><span class="pre">x</span> <span class="pre"><</span> <span class="pre">2</span></tt>
est donc évaluée.</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: type(x < 2)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
</pre></div>
</div>
<p>Or, l’évaluation d’une inégalité symbolique renvoie False quand la
condition n’est pas clairement vraie. Ainsi, <tt class="docutils literal"><span class="pre">h(x)</span></tt> s’évalue en
<tt class="docutils literal"><span class="pre">x</span> <span class="pre">-</span> <span class="pre">2</span></tt>, et c’est cette expression-là qui est finalement tracée.</p>
<p>Solution : Il ne faut pas utiliser <tt class="docutils literal"><span class="pre">plot(h(x),</span> <span class="pre">0,</span> <span class="pre">4)</span></tt>, mais plutôt</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: def h(x):</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">if</span> <span class="n">x</span> <span class="o"><</span> <span class="mi">2</span><span class="p">:</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">return</span> <span class="mi">0</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">else</span><span class="p">:</span>
<span class="gp">... </span> <span class="k">return</span> <span class="n">x</span><span class="o">-</span><span class="mi">2</span>
<span class="go">sage: plot(h, 0, 4)</span>
</pre></div>
</div>
<p>5. Constante plutôt que fonction</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = x</span>
<span class="go">sage: g = f.derivative()</span>
<span class="go">sage: g</span>
<span class="go">1</span>
</pre></div>
</div>
<p>Problème : <tt class="docutils literal"><span class="pre">g(3)</span></tt> déclenche une erreur avec le message « ValueError:
the number of arguments must be less than or equal to 0 ».</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: type(f)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
<span class="go">sage: type(g)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
</pre></div>
</div>
<p>En effet, <tt class="docutils literal"><span class="pre">g</span></tt> n’est pas une fonction, mais une constante, sans
variable en laquelle on peut l’évaluer.</p>
<p>Solution : il y a plusieurs possibilités.</p>
<ul>
<li><p class="first">Définir <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span></tt> comme une expression symbolique fonctionnelle</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f(x) = x # au lieu de 'f = x'</span>
<span class="go">sage: g = f.derivative()</span>
<span class="go">sage: g</span>
<span class="go">x |--> 1</span>
<span class="go">sage: g(3)</span>
<span class="go">1</span>
<span class="go">sage: type(g)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
</pre></div>
</div>
</li>
<li><p class="first">Ou, sans changer la définition de <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span></tt>, définir <tt class="docutils literal"><span class="pre">g</span></tt> comme une
expression symbolique fonctionnelle</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = x</span>
<span class="go">sage: g(x) = f.derivative() # au lieu de 'g = f.derivative()'</span>
<span class="go">sage: g</span>
<span class="go">x |--> 1</span>
<span class="go">sage: g(3)</span>
<span class="go">1</span>
<span class="go">sage: type(g)</span>
<span class="go"><type 'sage.symbolic.expression.Expression'></span>
</pre></div>
</div>
</li>
<li><p class="first">Ou encore, avec <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span></tt> et <tt class="docutils literal"><span class="pre">g</span></tt> définies comme dans l’exemple de
départ, donner explicitement la variable à remplacer par sa valeur</p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f = x</span>
<span class="go">sage: g = f.derivative()</span>
<span class="go">sage: g</span>
<span class="go">1</span>
<span class="go">sage: g(x=3) # au lieu de 'g(3)'</span>
<span class="go">1</span>
</pre></div>
</div>
</li>
</ul>
<p>Nous terminons en mettant encore une fois en évidence la différence entre
les dérivées des expressions <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span></tt> définies par <tt class="docutils literal"><span class="pre">f</span> <span class="pre">=</span> <span class="pre">x</span></tt> et par <tt class="docutils literal"><span class="pre">f(x)</span>
<span class="pre">=</span> <span class="pre">x</span></tt></p>
<div class="highlight-python"><div class="highlight"><pre><span class="go">sage: f(x) = x</span>
<span class="go">sage: g = f.derivative()</span>
<span class="go">sage: g.variables() # variables apparaissant dans g</span>
<span class="go">()</span>
<span class="go">sage: g.arguments() # paramètres auxquels on peut donner une valeur dans g</span>
<span class="go">(x,)</span>
<span class="go">sage: f = x</span>
<span class="go">sage: h = f.derivative()</span>
<span class="go">sage: h.variables()</span>
<span class="go">()</span>
<span class="go">sage: h.arguments()</span>
<span class="go">()</span>
</pre></div>
</div>
<p>Comme l’illustre cet exemple, <tt class="docutils literal"><span class="pre">h</span></tt> n’accepte pas de paramètres. C’est
pour cela que <tt class="docutils literal"><span class="pre">h(3)</span></tt> déclenche une erreur.</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
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